Największa liczba na świecie – liczba Grahama

Największa liczba na świecie to liczba Grahama. Do jej zapisu stosujemy specjalną wykładnię, w której wynosi ona G_64. Dokładna wartość liczby Grahama nie jest znana.

Niezwykła liczba

Liczba Grahama trafiła do księgi rekordów Guinnessa jako największa liczba zastosowana w praktyce do konkretnego równania matematycznego. Niby nic niezwykłego, ale uwierzcie, liczba jest tak duża, że próba jej wyobrażenia grozi zapadnięciem się naszego mózgu w czarną dziurę. A stopniowe uświadamianie sobie jej potęgi jest równie fascynujące, co ryzykowne. Zwana przedsionkiem nieskończoności. Celebrytką matematyki. Zastanawiam się tylko, skąd tak duże zainteresowanie matematycznymi fajerwerkami u takiego matematycznego dyletanta jak ja? Matma w szkole nigdy nie była moją mocną stroną i nigdy mnie nie pociągała. Zawsze miałem raczej zapędy humanistyczno-artystyczne. Aż tu pewnego dnia, dawno po odebraniu uczelnianego dyplomu dopadł mnie jakiś popularnonaukowy filmik. Coś zaiskrzyło. Nie rozumiałem z 80 procent tego co tam gadali. Ale coś mnie w tym pociągało. Może tak to jest, że im mniej poznane, tym bardziej fascynujące?

Liczba Grahama została uznana za największą ponieważ została zastosowana do rozwiązania konkretnego równania matematycznego.

Liczba Grahama

Tak, to jej nazwa. Od nazwiska odkrywcy. Ale zanim o liczbie, najpierw słów kilka o pewnej teorii kogoś, z powodu której Ronald Graham doliczył się swojego maleństwa. To twierdzenie Ramseya. Frank Ramsey był żyjącym w latach trzydziestych angielskim matematykiem, logikiem i filozofem. Jego twierdzenie to matematyczna wyższa szkoła jazdy. Nie próbujcie ogarnąć tego czytając Wikipedię. Nie macie szans, jeśli królową nauk nie smarujecie sobie chleba na śniadanie. Ja mam ambicję, żeby o matematycznych zawiłościach mówić jak najprościej. Przede wszystkim po to, żebym ja kumał o czym piszę. Próbuję.

Twierdzenie Ramseya

Z twierdzenia Ramseya wynika pewna geometryczna zagwozdka. Pomalutku. Ramsey namalował kwadrat. Kwadrat ma cztery wierzchołki. Ilość połączeń pomiędzy dwoma dowolnymi punktami tego kwadratu wynosi 6. Czyli krótko mówiąc: 4 boki + 2 przekątne. Rozumiem, że nadążamy 🙂

Teraz uwaga. Ramsey do namalowania tych połączeń użył dwóch kolorów. Na przykład czerwonego i niebieskiego. I kombinacje tych połączeń i kolorów dobierał tak, by uniknąć tej jednej niedozwolonej: cztery wierzchołki o tym samym kolorze i na tej samej płaszczyźnie.

W przypadku kwadratu, czyli figury dwuwymiarowej, ilość takich dozwolonych kombinacji jest spora. Ale idźmy dalej. Dodajemy kolejny wymiar. Z kwadratu płynnym krokiem przechodzimy do sześcianu. Ilość wierzchołków to 8. Ilość wszystkich połączeń pomiędzy wierzchołkami to 28. I tutaj znów mamy wiele dwukolorowych kombinacji dozwolonych. Czyli takich, gdzie nie ma czterech wierzchołków o tym samym kolorze i na tej samej płaszczyźnie.

Dodajemy kolejny wymiar. Czwarty. Matematyka taką figurę nazywa hipersześcianem. Jeszcze więcej wierzchołków, połączeń i kombinacji. I tutaj mamy możliwość użycia kombinacji dwukolorowych połączeń tak, by uniknąć tej niedozwolonej. I tak dalej, i tak dalej. I teraz pojawia się pytanie: ile razy możemy tak dodawać kolejne wymiary, zanim pojawi się figura, gdzie już niemożliwym będzie uniknięcie tej niedozwolonej kombinacji? I właśnie to obliczył Graham. Zapnijcie pasy.

Porównanie googola i liczby Grahama

Dla przeciętnego śmiertelnika bardzo duże liczby to te, które kończą się -lion albo -liard. Dla przykładu: ilość kombinacji kolorowych kwadracików w najsłynniejszej łamigłówce świata, czyli kostce Rubika, niby jest duża. To 43 252 003 274 489 856 000. Czyli ponad 43 tryliony. Ale w porównaniu z tym co Was tutaj czeka, ta liczbunia to praktycznie zero. O googolu słyszeli? Tak, to tej liczbie podebrała nazwę wyszukiwarka. Googol to 10 do potęgi 100. Czyli jedynka i sto zer. Ta liczba już coś znaczy. Będziemy porównywać, bo to dobrze działa na wyobraźnię. Liczba atomów w obserwowalnym wszechświecie wynosi 10 do potęgi 80. A gdybyśmy cały znany wszechświat wypełnili drobnoziarnistym piaskiem, to jego ziarenek było by 10 do 90. Czyli wciąż mniej niż googol. Co nie znaczy, że nie istnieje coś więcej niż googol. To googolplex. 10 do potęgi googol.

To legalny sposób zapisu tej liczby. Porównanie: wyobraźmy sobie kilometrowy diament. Raz dziennie ląduje na nim mucha i na swoich odwłokach odlatując zabiera jego mikrocząsteczkę. Kilka atomów. Ile lat potrzeba musze, aby diament zniknął całkowicie? Poza wyobrażeniem. Choć liczba tych lat ma się nijak do googolplexa. Gdybyśmy chcieli zapisać ją normalnie, jako jedynkę i ciąg zer, zabrakło by atomów w całym Bożym wszechświecie. Mało tego. Załóżmy, że umieszczamy pojedynczą cyfrę googolplexa na tzw objętości Plancka, czyli około 4,2 x 10 do -105 m3. Jest to tak miażdżąco mało, że proton przy tej objętości to kolos: 1,5 x 10 do -31 m3 (!!!). I mimo tego, gdybyśmy na jednej objętości Plancka napisali jedną cyfrę googolplexa, to i tak nie starczy, by zapisać je wszystkie. Znacznie za mało. By zrozumieć jak bardzo za mało, wrzucam kolejny przykład:

1. wypełniamy szczelnie cały znany wszechświat pyłkiem o rozmiarze jednej tysięcznej milimetra.
2. każdy z tych pyłków numerujemy
3. (siedzicie wygodnie?) dopiero liczba wszystkich możliwych kombinacji tej numeracji porusza się w  okolicach googloplexa (sic!!!). Miazga. Pewnie myślicie, że w ten sposób zbliżamy się do naszej dzisiejszej celebrytki. Nie macie pojęcia, w jakim błędzie jesteście. Liczba Grahama nawet jeszcze nie została muśnięta. Śpi spokojnie i nic nie zakłóca tego snu. Googolplex przy niej nie istnieje.

Jak obliczyć liczbę Grahama?

Będziemy potęgować. Zacznę od najprostszych przykładów.

• 3² = 9
• 3³ = 27
• itd

A co jak zastosujemy potęgowanie potęgi: (3³)³

To 7625597484987. Ponad 7,6 biliona! Tutaj pomalutku wchodzimy na drogę prowadzącą do liczby Grahama. Ale to jeszcze bardzo długa droga. Potęgowanie potęg ogarnął niejaki Donald Knuth. Wymyślił coś takiego jak strzałkowanie. Działa to tak. Jedna strzałka to po prostu normalne potęgowanie:

3↑3=3³=27. Dodając kolejną strzałkę zaczynają się schody. Dosłownie i w przenośni. Ilość strzałek określa ilość potęgowych pięterek. Wygląda to tak:

Idziemy dalej. A jak dodamy jeszcze jedną strzałkę: 3↑↑↑3? To 3 i ponad siedem bilionów pięterek. To liczby, przy których wszystkie googole i googoleplexy razem wzięte są pryszczami bez większego znaczenia. Całkowicie poza zasięgiem naszej wyobraźni. A co jak dodamy jeszcze jedną strzałkę: 3↑↑↑↑3? Jesteście już zmęczeni, przerażeni? To powiem Wam, że liczba 3↑↑↑↑3, której na imię G1 praktycznie przy liczbie Grahama nie istnieje. To dopiero próba pomyślenia o niej.

Zapis liczby Grahama

Jeśli G1 to 3↑↑↑↑3, to G2 będzie wynosiło 3↑G1 3. Jest to liczba, gdzie między tymi dwoma trójkami jest tyle strzałek, ile wynosi liczba G1. Czaicie absurd tej wielkości? To wciąż absolutnie nic przy liczbie Grahama. Musimy wspinać się dalej. G3 = 3↑G2 3. Ta liczba z kolei między dwoma trójkami ma tyle strzałek, ile wynosi G2. To już absurdylion absurdylionów. Ale to wciąż jeszcze nic. Wciąż trzeba się wspinać. Za chwilę miniemy obóz G4, potem G5 i G6. I tak dalej, i tak dalej, i tak dalej… Aż dojdziemy na G64 (!!!!!!?????). Tak, jesteśmy na szczycie. To jest dopiero liczba Grahama. Tadam!!! To jest liczba kombinacji grafów Ramseya, po której niemożliwym jest uniknięcie owej niedozwolonej kombinacji. Przypomnę: cztery wierzchołki w tym samym kolorze i na tej samej płaszczyźnie. Nie mam pojęcia jak on do tego doszedł, jak to ogarnął. No, ale jest na to naukowy dowód i trzeba uznać, że tak jest.

Wciąż się zastanawiam, po co ja o tym piszę. Choć zagłębiałem się w temat z dziką rozkoszą. Może wyczuwacie to z tego tekstu. Może chodzi o nieuświadomioną fascynację i tęsknotę za nieskończonością? Za Bogiem po prostu. Wszak Jego ślady można odnaleźć wszędzie. Nawet w matematycznych równaniach. I czymże jest liczba Grahama wobec nieskończoności Boga? Niczym. Kiedyś usłyszałem: Bóg jest tak nieskończenie wielki, że w niebie przez całą wieczność codziennie będzie nas zaskakiwał czymś nowym.